Решить задачу, используя геометрическую вероятность. На сторонах AB и AC равностороннего треугольника случайным образом выбраны точки M и N. Какова вероятность того, что пло-щадь треугольника AMN больше площади треугольника NBC? Желательно с рисунком на системе координат

Пусть сторона треугольника равна [latex]a[/latex]. Обозначим отрезок AM как [latex]xa[/latex], где [latex]xin[0;1][/latex] и отрезок AN как [latex]ya[/latex], где [latex]yin[0;1][/latex]. Тогда сторона MB выразится как [latex](1-x)a[/latex], а сторона NC выразится как [latex](1-y)a[/latex].Выразим площади треугольников:[latex]S_{AMN}= frac{1}{2} cdot AMcdot ANcdot sin A=frac{1}{2} cdot xa cdot ya cdot frac{ sqrt{3} }{2} =frac{ sqrt{3} }{4}a^2xy \ S_{NBC}= frac{1}{2} cdot CN cdot CB cdot sin C=frac{1}{2} cdot (1-y)acdot a cdot frac{ sqrt{3} }{2} =frac{ sqrt{3} }{4}a^2(1-y)[/latex]Запишем неравенство, вероятность выполнения которого нужно найти:[latex]frac{ sqrt{3} }{4}a^2xy extgreater frac{ sqrt{3} }{4}a^2(1-y) \ xy extgreater 1-y \ xy+y extgreater 1 \ y(x+1) extgreater 1 \ y extgreater frac{1}{x+1} [/latex]Графически это можно показать следующим образом. Всевозможные события - площадь единичного квадрата, где х и у принимают значения от 0 до 1. Благоприятные события - площадь той части этого квадрата, которая расположена выше графика функции [latex]y= frac{1}{x+1}[/latex]. Численно эта площадь равна искомой вероятности.График функции [latex]y= frac{1}{x+1}[/latex] получается из графика функции [latex]y= frac{1}{x}[/latex] путем параллельного переноса на 1 единицу влево.Искомая фигура ограничена сверху графиком функции [latex]y=1[/latex], снизу - графиком функции [latex]y= frac{1}{x+1}[/latex], слева и справа - прямыми [latex]x=0[/latex] и [latex]x=1[/latex] соответственно. Площадь такой фигуры определяется определенным интегралом [latex] intlimits^1_0 (1- frac{1}{x+1}), dx [/latex].Вычисляем:[latex]P(S_{AMN} extgreater S_{NBC})= intlimits^1_0 (1- frac{1}{x+1}), dx= (x- ln|x+1|)|_0^1= \ =(1-ln(1+1))-(0-ln(0+1))=1-ln2[/latex]Ответ: 1-ln2