Диагонали трапеции равны 8 и 15. Найдите площадь этой трапеции если её средняя линия равна 8,5.

АВСД - трапеция ,  АС=8 см, ВД=15 см, ср. линия = 8,5 см .Найти S трапеции. Проведём прямую СК║ВД до пересечения с АД . Получим параллелограмм ВСКД : ВС=КД=8 см. Также получим ΔАСК:  АК=АД+ДК=АД+ВС  (сумма оснований трапеции).Высота СН явл. как высотой ΔАСК, так и высотой трапеции. Поэтому площадь ΔАСК равна площади самой трапеции.Так как дана средняя линия  [latex]l= frac{a+b}{2} =8,5[/latex]  , то можно найти длину АК:  [latex]AK=a+b=2cdot 8,5=17[/latex]  . Теперь ,зная три стороны, можно найти площадь треугольника по формуле Герона.Но заметим, что боковые стороны ΔАСК :  СК=ВД=15 см и АС=8 см, явл. катетами прямоугольного треугольника, так как[latex]AC^2+CK^2=8^2+15^2=64+225=289\\sqrt{289}=17=AK[/latex]Поэтому площадь вычислим как полупроизведение катетов:[latex]S=frac{1}{2}cdot ACcdot CK=frac{1}{2}cdot 8cdot 15=60[/latex]