1.Найдите область определения функции 2.Решите уравнение 3.Решите неравенство 4.Решите уравнение 5.Решите уравнение 6.решите систему уравнений 7.Доведите что число есть целым

1. [latex]y=log_7(2x-9)[/latex]Подлогарифмическое выражение принимает положительное значение.2x-9 > 0x > 4.5Область определения функции: [latex]D(y) = (4.5;+infty)[/latex]2. 1) [latex]log_8x= frac{1}{3} [/latex]ОДЗ:[latex]x extgreater 0[/latex]Правую часть уравнения запишем по свойству логарифмов[latex]log_aa^b=b[/latex], тоесть, в нашем случае так будет:[latex]log_8x=log_88^{frac{1}{3}}[/latex]Основания логарифмов одинаковы, значит имеем:[latex]x=8^{frac{1}{3}}=(2^3)^{frac{1}{3}}=2[/latex]Ответ: [latex]2.[/latex]2) [latex]log_{11}(x^2-8x+25)=log_{11}10[/latex]ОДЗ: [latex]x^2-8x+25 extgreater 0[/latex]очевидно, что ОДЗ у нас будет принимать при любых х, т.е. представим левую часть как [latex](x-4)^2+9 extgreater 0[/latex], отсюда следует, что при всех значениях х неравенство верное.Основания одинаковы, значит по свойство логарифмов[latex]x^2-8x+25=10\ x^2-8x+15=0[/latex]По т. Виета: [latex]x_1=3;,,, x_2=5[/latex]Ответ: [latex]3;5.[/latex]3. [latex]log_3(x+2) leq log_34[/latex]ОДЗ : [latex]x+2 extgreater 0[/latex] отсюда следует, что [latex]x extgreater -2[/latex]Так как основания [latex]3 extgreater 1[/latex], функция возрастающая, а значит знак неравенства не меняется, тоесть: [latex]x+2 leq 4\ x leq 2[/latex]C учетом ОДЗ имеем общее решение [latex]-2 extless x leq 2[/latex]Ответ: [latex]x in (-2;2][/latex]4. 1)[latex]log_4(x+3)+log_4(x+15)=3[/latex]ОДЗ: [latex]egin{cases} & ext{ } x+3 extgreater 0 \ & ext{ } x+15 extgreater 0 end{cases}Rightarrowegin{cases} & ext{ } x extgreater -3 \ & ext{ } x extgreater -15 end{cases}Rightarrowoxed{x extgreater -3}[/latex]По свойству логарифмов: [latex]log_ab+log_ac=log_a(bcdot c)[/latex][latex]log_4((x+3)(x+15))=3\ log_4((x+3)(x+15))=log_44^3\ (x+3)(x+15)=4^3\ x^2+18x+45=64\ x^2+18x-19=0[/latex]По т. Виета: [latex]x_1=-9\ x_2=1[/latex]Корень [latex]x_1=-19 [/latex] не удовлетворяет ОДЗОтвет: [latex]1.[/latex]2) [latex]2log_2^2x+3log_2x^3=5[/latex]ОДЗ: [latex]x extgreater 0[/latex]В левой части уравнения второе слагаемое перепишем по свойству логарифмов [latex]log_ab^c=clog_ab[/latex], тоесть:[latex]2log_2^2x+3cdot 3log_2x=5\ 2log_2^2x+9log_2x=5[/latex]Пусть [latex]log_2x=t,,(tin R)[/latex], тогда[latex]2t^2+9t-5=0[/latex]Решаем обычное квадратное уравнение[latex]D=b^2-4ac=9^2-4cdot2cdot(-5)=121;,, sqrt{D} =11\ t_1= frac{-b+ sqrt{D} }{2a} = frac{-9+11}{2cdot2} =-0.5;\ t_2= frac{-b- sqrt{D} }{2a} = frac{-9-11}{2cdot2} =-5[/latex]Обратная замена:[latex]log_2x=-0.5;,,,Rightarrow,,,x=2^{-0.5}= frac{1}{sqrt{2}} \ log_2x=-5;,,,Rightarrow,,, x=2^{-5}= frac{1}{32} [/latex]Ответ: [latex]frac{1}{sqrt{2}};frac{1}{32} [/latex]5. [latex]lg^2x-lg x-2 extgreater 0[/latex]ОДЗ: [latex]x extgreater 0[/latex]Приравниваем к нулю.[latex]lg^2x-lg x-2=0[/latex]Пусть [latex]lg x=t[/latex], тогда получаем[latex]t^2-t-2=0[/latex]По т. Виета: [latex]t_1=2;,,t_2=-1[/latex]Обратная замена:[latex]lg x=2\ lg x=lg 10^2\ x_1=100;,,, lg x= -1\ lg x=lg 10^{-1}\ x=0.1[/latex]___+___(0.1)__-____(100)____+_____[latex]x in (-infty;0.1)cup(100;+infty)[/latex]С учетом ОДЗ, общее решение: [latex]x in (0;0.1)cup(100;+infty)[/latex]Ответ: [latex]x in (0;0.1)cup(100;+infty)[/latex]6. [latex]egin{cases} & ext{ } log_yx+9log_xy=6 \ & ext{ } xy=16 end{cases}[/latex]ОДЗ: [latex]egin{cases} & ext{ } xe 1 \ & ext{ } ye1 \ & ext{ } y extgreater 0 \ & ext{ } x extgreater 0 end{cases}[/latex]В (1) уравнение, второе слагаемое перейдем к новому основанию  [latex]egin{cases} & ext{ } log_yx+9cdot frac{log_yy}{log_yx}=6 \ & ext{ } xy= 16 end{cases}Rightarrowegin{cases} & ext{ } log_y frac{16}{y}+9cdot frac{1}{log_y frac{16}{y} } =6 \ & ext{ } x= frac{16}{y} end{cases}[/latex]По свойству логарифмов: [latex]log_ab-log_ac=log_a frac{b}{c} [/latex][latex]log_y16-log_yy+9cdot frac{1}{log_y16-log_yy} =6\ log_y16-1+9cdot frac{1}{log_y16-1}=6 [/latex]Пусть [latex]log_y16=t[/latex], получаем[latex]t+ frac{9}{t-1}=7|cdot(t-1)\ t^2-t+9=7t-7\ t^2-8t+16=0\ (t-4)^2=0\ t=4 [/latex]Обратная замена:[latex]log_y16=4\ log_y16=log_yy^4\ y^4=16\ y^4=2^4\ y=2[/latex]Итак, нашли значение у, теперь осталось найти х[latex]x= frac{16}{y}=8 [/latex]Ответ: [latex](8;2)[/latex]7. [latex]log_{8+3 sqrt{7} }(8-3 sqrt{7} ),,,oxed{=}[/latex]Домножим на сопряженное([latex]8+3 sqrt{7} [/latex])[latex]oxed{=},,log_{8+3 sqrt{7} } frac{8^2-(3 sqrt{7})^2 }{8+3 sqrt{7} } =log_{8+3 sqrt{7} } frac{64-63}{8+3 sqrt{7} } =log_{8+3 sqrt{7} }(8+3 sqrt{7} )^{-1}=-1[/latex]Что и требовалось доказать