Найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией [latex] y^{2} = x^{2} - x^{4} , x geq 0[/latex]

найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линиейВспомним как находятся координаты точки центра масс:[latex]x_0= frac{ intlimits intlimits{x} dxdy }{S} [/latex][latex]y_0= frac{ intlimits intlimits {y}dx dy }{S} [/latex]Где S- площадь фигурыПостроим график функции : [latex]y=+/- sqrt{x^2-x^4} [/latex](смотри приложение к решению)Найдем нули функции: y=0 при х=0, х=1, х=-1Нас интересует только та часть графика где х≥0Итак, найдем площадь фигуры. где 0≤х≤1[latex] intlimits^1_0 dx( intlimits^{x sqrt{1-x^2}}_{-x sqrt{1-x^2}} dy)= intlimits^1_0 dx(x sqrt{1-x^2-(-x sqrt{1-x^2}) })=[/latex][latex]= intlimits^1_0 {2x sqrt{1-x^2}} , dx =2 intlimits^1_0 {x sqrt{1-x^2} } , dx= [/latex]сделаем замену: [latex]1-x^2=t -2xdx=dt xdx=-dt/2[/latex] при этом границы интегрирования поменяются местами. [latex]=2 intlimits^0_1 {- frac{1}{2} sqrt{t} , dt=- intlimits^0_1 { sqrt{t}} , dt= intlimits^1_0 { sqrt{t}} , dt = frac{2}{3}t^{3/2}|_0^1= frac{2}{3} [/latex]Итак площадь фигуры 2/3Найдем ординату:[latex] intlimits intlimits {x}dxdy= intlimits^1_0 {x}dx intlimits^{x sqrt{1-x^2}}_{-x sqrt{1-x^2}} dy= intlimits^1_0 {x(x sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-x^2}}) , dx= [/latex][latex]=2 intlimits^1_0 {x^2 sqrt{1-x^2} } , dx= [/latex]сделаем замену:[latex]x=Sint dx=Costdt 1-x^2=Cos^2t[/latex]Границы  интегрирования 0≤t≤π/2[latex]=2 intlimits^{ pi /2}_0 {Sin^2tCost sqrt{Cos^2t}} , dt =2 intlimits^{ pi /2}_0 {(Sin^2tCos^2t}) , dt= [/latex][latex]=2 intlimits^{ pi /2}_0 { frac{1}{4}Sin^22t} , dt= frac{1}{2} intlimits^{ pi /2}_0 {Sin^22t} , dt= [/latex]сделаем еще раз замену:[latex]2t=a 2dt=da[/latex]границы интегрирования 0≤a≤π[latex]= frac{1}{2} intlimits^ pi _0 { frac{1}{2}Sin^2a} , da= frac{1}{4} intlimits^ pi _0 { frac{1-Cos2a}{2}} , da= frac{1}{8} intlimits^ pi _0 {1-Cos^a} , da= [/latex][latex]= frac{1}{8}( intlimits^ pi _0 da- intlimits^ pi _0 {Cos2a} , da= [/latex]и последняя замена: [latex]2a=s; 2da=ds[/latex][latex]= frac{1}{8} intlimits^ pi _0 {da} - frac{1}{8} intlimits^{2 pi} _0 frac{1}{2} {Cos s} ds= frac{1}{8}a|_0^{ pi } - frac{1}{16}Sin s|_0^{2 pi }= [/latex][latex]= frac{1}{8}( pi -0)- frac{1}{16}(Sin {2 pi }-Sin 0)= frac{1}{8} pi [/latex]Таким образом ордината точки: [latex]x_0= frac{ pi }{8}: frac{2}{3}= frac{3 pi }{16} [/latex]Найдем абсциссу, т. е. y₀[latex] intlimits intlimits{y}dxdy= intlimits^1_0 {dx} intlimits^{x sqrt{1-x^2} }_{-x sqrt{1-x^2}} ydy= intlimits^1_0 dx frac{y^2}{2}|_{-x sqrt{1-x^2} }^{x sqrt{1-x^2} }= [/latex][latex]= frac{1}{2} intlimits^1_0 {(x^2-x^4)-(x^2-x^4)}, dx=0 [/latex]Таким образом абсцисса точки: [latex]y_0=0: frac{2}{3}=0 [/latex]центр масс [latex]( frac{3 pi }{16};0) [/latex]