В каком случае в корне слова разв..вающиеся пишется е,а в каком и?

Зависит от значения в данном контексте. Например, развевающееся знамя, здесь пишется е, развивающиеся дети, здесь пишется и

Развевающиеся-от слова веетНапример: развевающиеся по ветру волосы, развевающийся флагРазвивающиеся-от слова развитиеНапример: развивающиеся отрасли промышленности, развивающийся бизнес