Докажите, что {х│х=4n-1,n-целое число}={х│х=4m+3,m-целое число}.

Множество целых чисел:[latex]mathbb Z={...-1,0,1...}[/latex]Т.е. все отрицательные и натуральные числа.Множества называются равными если:[latex]A subseteq B[/latex] и [latex]Bsubseteq A[/latex]Пусть:[latex]A={x|x=4n-1,nin mathbb Z}[/latex][latex]B={x|x=4m+3,min mathbb Z}[/latex]Так как [latex]x=x[/latex]То:[latex]4n-1=4m+3[/latex]Т.е. либо n зависит от m:[latex]n= m+1[/latex]Либо m от n:[latex]m=n-1[/latex]Теперь, если [latex]Asubseteq B[/latex] то,значит, есть такой элемент [latex]ain A[/latex] так что [latex]aotin B[/latex].Т.е. выполняется:[latex]a=4n-1 Rightarrow n= frac{a+1}{4} [/latex]Значит:[latex]frac{a+1}{4} eq m+1[/latex]Но мы знаем что для каждого n и m выполняется n=m+1. Значит противоречие и наше предположение о том что А не является подмножеством В не верно.Т.е. [latex]Asubseteq B[/latex]Теперь, если предположить что [latex]Bsubseteq A [/latex], то значит есть такой элемент [latex]bin B [/latex] так что: [latex]botin A[/latex]Т.е. выполняется:[latex]b=4m+3 Rightarrow m= frac{b-3}{4} [/latex]Значит :[latex]frac{b-3}{4} eq 4n-1[/latex]Но этого не может быть. Значит противоречие.[latex]Bsubseteq A[/latex]Отсюда следует:[latex]A=B[/latex]