В прямоугольном треугольнике ABC ( B=90°) отрезок BD-высота, проведённая к стороне AC, AD:DC=9:40, BD=4√5.Прямая a, параллельная высоте BD, делит треугольник ABC на две равновеликие части. Найдите длину отрезка прямой a, заключенного между сторонами треугольника ABC

Пусть прямая а пересекает АС в т.В1, ВС в т.А1.  А1В1 делит  ∆ АВС на две равновеликие части, т. е. на треугольник и четырехугольник равной площади.   S ∆ А1B1C=S BАB1А1= S ∆ABC:2 Прямоугольные  треугольники с общим острым углом  подобны.  ∆ CA1B1~ ∆ СAB.  Площади подобных фигур относятся как квадраты отношения линейных размеров их сходственных элементов. k²=2 ⇒ k=√2 АВ:А1В1=√2 ⇒ A1B1=AB:√2 АВ найдем из ∆ АВD. Примем коэффициент отношения отрезков AD:CD равным х. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.  Т.е. ВD² =АD•CD  Тогда 80=40•9x²  9х²=2⇒ х=(√2)/3 и  AD=9•(√2)/3 =3√2  Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. АВ²= BD²+AD² АВ=√(80+9•2)=√49•2=7√2     ⇒ A1B1=7√2:√2=7