Основание равнобедренного треугольника равно 110, косинус угла при вершине равен 5/13. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Пусть АВ=ВС=а, АС=b, α - угол при вершине.В тр-ке АВС по т. косинусов а²=b²+b²-2·b·b·cosα=2b²-2b²·5/13,16b²/13=110²,b²=110²·13/16.В равнобедренном тр-ке высота равна: h=b²/2R=b²/(a/sinα).sin²α=1-cos²α=1-25/169=144/169, sinα=12/13.BM=h=(110²·13/16)/(110·13/12)=110·3/4=82.5Треугольники АВС и КВТ подобны по трём углам, значит АС/КТ=ВМ/ВО.1) Пусть КТ=х, ОМ=2х, значит ВО=ВМ-ОМ=82.5-2х.110/х=82.5/(82.5-2х) ⇒ х=30, 2х=60.Площадь прямоугольника S=x·2x=30·60=1800 (ед²) - это ответ.2) пусть ОМ=х, КТ=2х, значит ВО=82.5-х.110/2х=82.5/(82.5-х) ⇒ х=33, 2х=66.S=33·66=2178 (ед²) - это ответ.