Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Найдите наибольшее возможное значение наименьшей высоты треугольника.

1.  In the summer the city has so-called White Nights.2.  It is not dark and many people celebrate it by singing and dancing by the Neva river and watching boats pass under the opened bridges.  There are also a lot of fireworks set off at that time.

Пусть h1≤h2≤h3  - высоты треугольника (h1- наименьшая). Можно воспользоваться известным  соотношением: 1/r=1/h1+1/h2+1/h3. Отсюда 1/r≤3/h1, т.е. при r=1 получаем h1≤3. Это значение, очевидно достигается в равностороннем треугольнике. Т.е. ответ 3.P.S. Доказать 1/r=1/h1+1/h2+1/h3 можно так: если h1, h2, h3 - высоты проведенные к сторонам а, b, c, то по формуле площади треугольника 1/h1=a/(2S), 1/h2=b/(2S), 1/h3=c/(2S), откуда 1/h1+1/h2+1/h3=(a+b+c)/(2S)=1/r, т.к. S=pr, где p - полупериметр.