Равнобедренный треугольник ABC (AB =BC) вписан в окружность. Диаметр CD пересекает сторону AB в точке M такой, что BM = k *MA. Найти отношение DM :MC.

В треугольнике АВС:BC=AB=BM+MA=k*MA+MA=MA(k+1)  (дано).В треугольнике МВС имеем: MB/BC=MO/OC (так как ВО - биссектриса

Вариант решения.Проведем высоту ВН ( которая в равнобедренном треугольнике  является и медианой) к АС. Т.к. ВН - срединный перпендикуляр к АС , то центр описанной вокруг ∆ АВС окружности лежит на ВН, и точка О пересечения ВН и диаметра DС - центр данной окружности. Проведем отрезок АD. Треугольник DАС - прямоугольный (∠DАС опирается на диаметр)DА ⊥АС, ВН ⊥ АС ⇒ DА || ВН ∠ DАВ=∠ АВО как накрестлежащие при параллельных прямых AD  и BH и секущей АВ . Углы при М равны как вертикальные ⇒∆ АМD подобен ∆ МВО по трем углам ⇒DМ:МО=АМ:МВ=1/k ⇒MO=DM*k МС=ОС+МО ОС=DМ+МО=DМk+DМ МС=DМk+DМ+DМk=2DМk+DМ=DМ(2k+1) DМ:МС=DМ:DМ(2k+1)=1/(2k+1)