55 баллов за решение1) Sin^4 x+cos^4 x = cos4x 2) При каких значениях параметра a уравнение не имеет решений? 5sin2x + 12cos2x=2a-1

1) Приведем левую и правую часть к функции cos 2x.sin^4 x + cos^4 x = sin^4 x + 2sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x - 2sin^2 x*cos^2 x == (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 1/2*4sin^2 x*cos^2 x = 1 - 1/2*sin^2 (2x) == 1/2*(2 - sin^2 (2x)) = 1/2*(1 + cos^2 (2x))cos 4x = 2cos^2 (2x) - 1Подставляем1/2*(1 + cos^2 (2x)) = 2cos^2 (2x) - 11 + cos^2 (2x) = 4cos^2 (2x) - 23 = 3cos^2 (2x)cos^2 (2x) = 1a) cos 2x = -1; 2x = pi + 2pi*k; x1 = pi/2 + pi*kb) cos 2x = 1; 2x = 2pi*n; x2 = pi*n2) 5sin 2x + 12cos 2x = (2a-1)Переходим к аргументу х10sin x*cos x + 12cos^2 x - 12sin^2 x = (2a-1)*cos^2 x + (2a-1)*sin^2 x(2a-1+12)*sin^2 x - 10sin x*cos x + (2a-1-12)*cos^2 x = 0Делим всё на cos^2 x(2a+11)*tg^2 x - 10tgx + (2a-13) = 0Получили квадратное уравнение относительно tg x.Оно не имеет решений, если D < 0D = 10^2 - 4(2a+11)(2a-13) = 100 - 16a^2 + 16a + 572 < 0Разделим всё на -16. При этом знак неравенства поменяется.a^2 - a - 42 > 0(a - 7)(a + 6) > 0a < -6 U a > 7

[latex]sin^4x+cos^4x=cos4x[/latex]Добавим и вычтем слагаемые [latex]2sin^2xcos^2x[/latex][latex]sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x=cos4x\ \ (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=cos4x\ \ 1-0.5sin^22x=1-2sin^22x\ \ 2sin^22x-0.5sin^22x=0\ 1.5sin^22x=0\ \ sin 2x=0\ \ 2x= pi k,k in mathbb{Z}|:2\ \ x= dfrac{pi k}{2},k in mathbb{Z}[/latex][latex]5sin 2x+12cos2x=2a-1[/latex]Формула: [latex]asin xpm b cos x= sqrt{a^2+b^2} sin(xpmarcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} }) [/latex]В нашем случае:[latex]sqrt{5^2+12^2} sin(2x+arcsin frac{12}{ sqrt{5^2+12^2} }) =2a-1\ \ 13sin(2x+arcsin frac{12}{13} )=2a-1\ \ sin (2x+arcsin frac{12}{13})= dfrac{2a-1}{13} [/latex]Уравнение решений не имеет, если [latex]igg|dfrac{2a-1}{13} igg | extgreater 1[/latex][latex] left[egin{array}{ccc}dfrac{2a-1}{13} extgreater 1\ dfrac{2a-1}{13} extless -1end{array}ightRightarrow left[egin{array}{ccc}2a-1 extgreater 13\ 2a-1 extless -13end{array}ightRightarrow left[egin{array}{ccc}a extgreater 7\a extless -6end{array}ight[/latex]Ответ: при [latex]a in (-infty;-6)cup(7;+infty)[/latex]