Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функции y=[latex] x^{2} [/latex], y= [latex] sqrt{2-x} [/latex]и прямой у=0.

[latex]y= sqrt{2-x} ; ; o ; ; y^2=2-x; ,; ; y^2=-(x-2)[/latex]Последнее уравнение - парабола, симметричная оси ОХ,ветви  которой направлены влево, вершина которой находится в точке (2,0), пересекает ось ОУ в точке  [latex](0, pmsqrt{2}) [/latex]. Следовательно, уравнение  [latex]y=sqrt{2-x}[/latex] является верхней ветвью этой параболы. [latex]y=x^2[/latex] - парабола, симметричная оси ОУ, ветви вверх,вершина в точке (0,0).Точки пересечения этих кривых: [latex]x^2=sqrt{2-x}[/latex] .[latex]x^4=2-x; ,; ; x^4+x-2=0; ; o ; ; x=1[/latex]Другие точки пересечения нас не интересуют, так как из  чертежа видно, что достаточно этой точки.[latex]V=int _0^1(x^2)^2dx+pi int _1^2(sqrt{2-x})^2dx=pi int _0^1x^4dx+pi int _1^2(2-x)dx=\\=pi cdot frac{x^5}{5}, |_0^1+pi cdot (2x-frac{x^2}{2})|_1^2=frac{pi}{5}+pi cdot (4-2-2+frac{1}{2})=frac{pi}{5}+frac{pi}{2}=frac{7pi }{10}[/latex]