В остроугольном треугольнике ABC В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°, BB1 и CC1 — высоты треугольника и M — середина стороны BC. Докажите, что все стороны треугольника MB1C1 равны.

У прямоугольных треугольников ВВ1С и ВС1С общая гипотенуза ВС. Радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.Середина М этой гипотенузы - центр общей окружности, которую можно описать вокруг обоих прямоугольных треугольников.Известно, что величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Величина угла А =60º по условию. Дуга ВеС равна 180º, как дуга, стягиваемая  диаметром. Отсюда∠А= (⌣ ВеС - ⌣В1С1):2 120º=180º - ⌣В1С1 ⌣В1C1=60º Треугольник С1МВ1 - равнобедренный, т.к. МС1 и МВ1 - радиусы. Центральный угол С1МВ1 опирается на дугу, равную 60º, следовательно, равен ей. Углы МС1В1 и МВ1С1 равна как углы при основании равнобедренного треугольника: и равны (180º-60º):2=60ºЕсли все углы треугольника равны, он - равносторонний. Все стороны ∆ МВ1С1 - равны, что и требовалось доказать.