Обозначим вершины прямоугольного параллелепипеда ABCDEFGH, где прямоугольники ABCD и EFGH - противоположные грани параллелепипеда, а вершины перечислены в порядке обхода по часовой стрелке. При этом отрезок AE является ребром параллелепипеда.Пусть AB=5, AD=13 и AE=4.Проведем диагональ AC в прямоугольнике ABCD.Имеем 2 равных прямоугольных треугольника: ABC и ADC. Т.к. ABCD - прямоугольник, то сторона BC равна стороне AD, а сторона AB равна стороне CD.По теореме Пифагора квадрат гипотенузы (AC) равен сумме квадратов катетов (AD и BC или AB и CD). Т.е. AC² = AB²+AD².Рассмотрим теперь треугольник ACG. Сторона CG перпендикулярно плоскости ABCD, т.к. является ребром прямоугольного параллелепипеда. Значит, CG перпендикулярна любой прямой в плоскости ABCD, в частности, прямой AC. Значит, угол ACG треугольника ACG является прямым, т.е. треугольник ACG - прямоугольный с катетами AC и CG и гипотенузой AG, которая является диагональю прямоугольного параллелепипеда.Отсюда, по теореме Пифагора, AG² = AC²+CG².Длина ребра CG равна длине ребра AE. Значит, AG² = AC²+AE². Подставляя вместо AC² найденное раньше выражение AB²+AD², получаем, что AG² = AB²+AD²+AE² = 5²+13²+4² = 25+169+16 = 210. Значит, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 5 и 13 равна √210.