1.Измерения прямоугольного параллелепипеда равны: 1)3 см, 2)2 см, 3)6 см Найдите: а)длину диагонали параллелепипеда б)длину диагонали наименьшей грани в)площадь наибольшей грани г)площадь наименьшей грани д)площадь поверхности параллелепипеда 2.Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и образует угол a : с основанием призмы Найдите: 1)высоту призмы 2)Большую диагональ основания 3)сторону основания призмы 4)площадь основания 5)площадь наибольшего диагонального сечения 6)площадь боковой поверхности призмы 3.В основании прямого параллелепипеда лежит ромб.Высота параллелепипеда равна 8 см,диагонали параллелепипеда равны: 17 см и 10 см Найдите: 1)длинну большей диагонали основания 2)меньшую диагональ основания 3)сторону основания параллелепипеда 4)площадь основания параллелепипеда 5)площадь боковой поверхности параллелепипеда 6)угол наклона большей диагонали параллелепипеда к площади основания 4.Боковое ребро призмы равно 10 см,а в основании лежит: прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см. Найдите: 1)длину третьего ребра основания 2)площадь основания 3)площадь боковой поверхности призмы 4)площадь полной поверхности призмы 5)Площадь сечения,проведенного через боковое ребро и середину гипотенузы 6)диагональ наибольшей боковой грани

1. a=2,b=3,c=6a) D=[latex] D=sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2} } = sqrt{ 2^{2} + 3^{2} + 6^{2}}=sqrt{ 4 + 9 + 36}=sqrt{49}=7[/latex] - Диагональ параллелепипеда.б) Наименьшая грань образована меньшими ребрами: [latex] sqrt{ a^{2} + b^{2} } = sqrt{ 2^{2} + 3^{2} } = sqrt{4+9} = sqrt{13} [/latex] - Её диагональ.в) Наибольшая грань образована большими ребрами: 3*6=18 - Её площадь.г) Наименьшая грань образована меньшими ребрами: 2*3=6 - Её площадь.д) Площадь поверхности - сумма площадей граней: (2*3+2*6+3*6) * 2 = (6+12+18)*2=36*2=72.2. d-диагональ призмы, a - угол между d и основанием.а) Высота призмы равна проекции её диагонали на боковое ребро: h=d*sin(a)б) Диагональ основания призмы равна проекции её диагонали на основание: f=d*cos(a)в) Поскольку основанием призмы является правильный шестиугольник, все углы равны 120 градусам. Если провести диагональ f, она разделит углы пополам, то есть по 60 градусов. Если провести 3 таких диагонали, получим 6 равносторонних треугольников со стороной равной длине ребра и f будет равна удвоенной стороне основания, т.е. g=f/2г) Поскольку основанием призмы является правильный шестиугольник, его площадь будет равна [latex] frac{3sqrt{3}}{2} g^{2}[/latex], где g - сторона основания.д) Наибольшее диагональное сечение призмы будет опираться на большую диагональ основания f. Поскольку призма является правильной, сечение будет иметь форму прямоугольника. Её площадь вычисляется по формуле: f*h=dsin(a)*dcos(a)=d^2*sin(2a)/2е) Площадь боковой поверхности правильной призмы равна периметру основания на высоту: 6*g*h = 6f/2*dsin(a)=dsin(a)*dcos(a)/2=3d^2*sin(2a)/2.3. а) Большая диагональ параллелепипеда образует с диагональю основания и высотой прямоугольный треугольник. Диагональ параллелепипеда является в этом треугольнике гипотенузой. [latex] sqrt{17^{2}-8^{2}} = sqrt{289-64}=sqrt{225}=15[/latex] - Большая диагональ основанияб) Аналогично, меньшая диагональ основания будет равна [latex] sqrt{10^{2}-8^{2}} = sqrt{100-64}=sqrt{36}=6[/latex].в) Поскольку в основании лежит ромб, его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Сторона основания параллелепипеда в этом треугольнике является гипотенузой. [latex] sqrt{15^2+6^2} = sqrt{225+64}=sqrt{289}=17[/latex] - длина стороны основания.г) Поскольку основание является ромбом, площадь его основания равна половине произведения диагоналей: 6*15/2=45д) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту: 17*4*8=544.е) Большая диагональ параллелепипеда образует прямоугольник со сторонами 8,15,17. Нужно найти угол между диагональю параллелепипеда и основанием, то есть сторонами треугольника равными 15 и 17. В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.cos(a)=15/17.a=28 градусов.4.а) Поскольку в основании призмы лежит прямоугольный треугольник, и нам известны два его катета, гипотенуза будет равна [latex] sqrt{12^2+5^2} = sqrt{144+25} =sqrt{169}=13[/latex]б) Поскольку в основании призмы лежит прямоугольный треугольник, площадь призмы будет  равна площади прямоугольного треугольника, то есть половине произведения катетов: 12*5/2=30.в) Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: (5+12+13)*10=300.г) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: 300+2*30=360.д) Сечение, проведенное через боковое ребро и середину гипотенузы, будет опираться на медиану основания, проведенную к гипотенузе.Рассмотрим треугольник, сторонами которого является меньший катет основания, медиана и половина гипотенузы. 2 стороны равны 5 и 6.5.Для нахождения 3 стороны воспользуемся формулой [latex]a^2= sqrt{b^2+c^2-2bc * cosalpha } [/latex]Косинус угла a равен 513Подставим: [latex]a^2= sqrt{5^2+6.5^2-2*5*6.5 * 5/13 } = sqrt{25+42.25-25 } = sqrt{42.25}[/latex]=6.5.Площадь сечения будет равна 6.5*10=65.е) Наибольшая боковая грань призмы опирается на гипотенузу прямоугольного треугольника, лежащего основания. Её диагональ равна [latex] sqrt{13^2+10^2} = sqrt{169+100}= sqrt{269} = 16.4[/latex]