Даны четыре вектора а =(2; 3; 7), b =(3; -2; 4), c =(-1; 1; -1), d =(1; 1; 3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.       4  3  -1det( 5  0   4)  =  -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора        2  1   2a,b,c образуют базис, что и требовалось показать.Вектор d представим в виде:d = p*a + q*b + r*cТак как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:4p + 3q - r = 55p + 4r = 72p + q + 2r = 8 q = 8-2p-2r    тогда получим систему 2p+7r=19                                                         5p+4r=7Решив, получим: p = -1,  r = 3   и тогда q = 4Значит разложение выглядит так:d = -a + 4b + 3c