В окружность вписан четырёхугольник ABCD со сторонами: AB=a, BC=b, CD=c, AD=d Доказать, что 1) его площадь S=[latex] sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} [/latex], где p=[latex] frac{1}{2} [/latex](a+b+c+d) 2) если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности, то его площадь будет равна [latex] sqrt{abcd} [/latex].

Пусть   ABCD   вписанный  четырехугольник  ,AB=a,BC=b , CD =c ,DA=d.Проведем диагональ AC. S= S(ABCD) = S(ABC) +S(ADC) =(1/2)absinB + (1/2)cdsinD=(1/2)absinB + (1/2)cdsin(180° -∠B)=(1/2)absinB + (1/2)cdsin∠B=(1/2)(ab + cd)sin∠B. * * * ∠D +∠B =180° , sin∠D =sin(180° -∠B) =sin∠B ; cos∠D = - cos∠B   * * *  Из треугольника ABC  по теореме косинусов :AC² =a² +b² -2abcos∠B .   (1)Аналогично  из треугольника ADC : AC²= c²+d² -2cdcos∠D ;AC²=c²+d² +2cdcos∠B .     (2)Из уравнений (1) и (2) получаем  :a² +b² -2abcos∠B = c²+d² +2cdcos∠B ⇒ cos∠B = (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd) .sin²∠B =1- cos²∠B =1- ((a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))² =(1- (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))(1+ (a²+b² -c² -d²)/2(ab+cd))=((c+d)² -(a-b)²)/2(ab+cd))((a+b)² -(c-d)²)/2(ab+cd)) =(c+d +b-a)(c+d +a-b)(a+b+d -c) (a+b+c -d)/ (2(ab+cd))² = || p = (a+b+c+d)/2|| =(2p -2a)(2p -2b)(2p-2c)(2p-2d) / (2(ab+cd))² =4(p -a)(p -b)(p-c)(p-d) / (ab+cd)² .sin∠B =2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) .следовательно : S =(1/2)(ab + cd)sin∠B =(1/2)(ab + cd)*2√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)) / (ab+cd) =√((p -a)(p -b)(p-c)(p-d)).--------------------------------2. Если указанный четырёхугольник ABCD можно описать около окружности ,то :b+d= a+c (сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны).p-c = (a+b+c+d)/2 - c =a+c -c =a ;  * * * замена b+d = a+c  * * * p-d = (a+b+c+d)/2 - d =b+d -d=b ;  * * * замена  a+c=b+d   * * *p-a = (a+b+c+d)/2 - a =a+c -a =c ;  * * * замена b+d = a+c  * * *p-b = (a+b+c+d)/2 - b =b+d -b=d .  * * * замена  a+c=b+d   * * *S =√(abcd) .

доказательство смотри в  приложении