В матрице размером (19,5) 2 элементa равны единице, а все остальные равны 0. Ненулевые элементы расположены так, что в каждой строке и каждом столбце не более одного ненулевого элемента. Чему равен ранг матрицы?

Пусть [latex]r_i[/latex] строка [latex]i[/latex] данной матрицы, содержащая ненулевой элемент, и пусть [latex]1=a_{i,k}[/latex].Нам дано: если [latex]a_{i,k}=0[/latex], то 1) остальные элементы в строке [latex]r_i[/latex] равны нулю, 2) элементы в столбце [latex]v_k[/latex]равны нулю.[latex]r_i[/latex] не может содержать больше одного ненулевого элемента, следовательно есть ещё одна строка [latex]r_j[/latex], содержащая второй ненулевой элемент.Пусть [latex]a_{j,l}=1[/latex].Из (2) следует, что [latex]keq l[/latex] ([latex]a_{i,k}[/latex] и [latex]a_{j,l}[/latex] не находятся в одном столбце).Предположение: [latex]r_i[/latex] и [latex]r_j[/latex] - линейно независимы (докажем это и получим ранг не меньше двух)Доказательство:Предположим, что зависимы. Тогда существует такой скаляр [latex]lambda[/latex], что [latex]r_i=lambda r_j[/latex], в частности: [latex] left { {{a_{i,k}=lambda a_{j,k} atop {a_{i,l}=lambda a_{j,l}}} ight. Rightarrow left { {{1=lambda cdot0} atop {0=lambdacdot1}} ight. [/latex]Получили противоречие (нет такого скаляра, который выполнит систему), значит [latex]r_i[/latex] и [latex]r_j[/latex] - линейно независимы.Отсюда: [latex]rank(A)geq2[/latex]Ненулевых элементов матрицы всего два, потому остальные строки матрицы содержат только нули. Отсюда [latex]rank(A)leq2[/latex].Итого: [latex]rank(A)=2[/latex]. Других вариантов для матрицы [latex]A[/latex] нет.