Даю 100 баллов Знатоки ,помогайте 1)Доказать,что площадь треугольника АВС,вписанного в окружность равна S=(abc)/4R 2)Дан четырехугольник АВСД, точка О-точка пересечения диагоналей Доказать,что SAOBxSCOD=SAODxSBOC

1. По теореме синусов, [latex] frac{AB}{sinC} = frac{BC}{sinA} = frac{AC}{sinB} =2R[/latex]. Выразим отсюда [latex]sinA[/latex]: [latex]sinA= frac{BC}{2R} [/latex].Теперь воспользуемся одной из формул площади треугольника: [latex]S= frac{1}{2} *AB*AC*sinA[/latex]. Подставив сюда дробь вместо синуса, имеем [latex]S= frac{1}{2} *AB*AC* frac{BC}{2R} = frac{AB*BC*AC}{4R} [/latex], что и требовалось.2. Обозначим за [latex] alpha [/latex] угол [latex]AOB[/latex].Воспользуемся формулой площади треугольника из предыдущей задачи: [latex]S(AOB)= frac{1}{2} OA*OB*sin alpha , S(BOC)= frac{1}{2} OB*OC*sin (pi - alpha) \ S(COD)= frac{1}{2} OC*OD*sin alpha, S(AOD)= frac{1}{2} OA*OD*sin (pi - alpha)[/latex]Заметим, что синусы вертикальных углов равны, поэтому [latex]sin alpha =sin( pi - alpha )[/latex].Подставляем значения площадей в левую и правую часть:[latex]S(AOB)*S(COD)= frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} alpha [/latex][latex]S(AOD)*S(BOC)= frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} alpha [/latex]Произведения площадей равны, что и требовалось.