Решите уравнение: x^4+6x^3-21x^2+78x-16=0

Уравнение четвёртой степени имеет вид:   [latex] alpha _0x^4+ alpha _1x^3+ alpha _2x^2+ alpha _3x+ alpha _4=0[/latex]Разделим обе части на коэффициент [latex] alpha _0[/latex], получаем             [latex]x^4+ alpha x^3+ bx^2+cx+d=0[/latex]где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа.Уравнения вида приводится уравнение четвёртой степени, у которых отсувствует третьей степени., поэтому нужно сделать замену переменных, тоесть   [latex]x=i- frac{ alpha }{4} [/latex], где [latex] alpha [/latex] - коэффициент перед х^3 и 4 - произвольные вещественные числаВ нашем случае такое уравнение: [latex]x^4+6x^3-21x^2+78x-16=0[/latex]Заменим [latex]x=i- frac{6}{4} =i-1.5[/latex], получаем [latex](i-1.5)^4+6(i-1.5)^3-21(i-1.5)^2+78(i-1.5)-16=0\ i^4-6i^3+13.5i^2-13.5i+5.0625+6i^3-27i^2+40.5i-20.25-21i^2+\+63i-47.25+78i-117-16=0\ i^4-34.5i^2+168i-195.4375=0[/latex]Получаем кубическое уравнение: [latex]2s^3-ps^2-2rs+rp- frac{q^2}{4}=0 [/latex]В нашем случае: [latex]p=-34.5;,,,,q=168;,,,,r=-195.4375[/latex]Подставляем и получаем уравнение  [latex]2s^3+34.5s^2+2cdot195.4375s+34.5cdot195.4375- frac{168^2}{4}=0\ 64s^3-1104s^2+12508s-10029=0 [/latex]Разложим одночлены в сумму нескольких   [latex]64s^3-48s^2+1152s^2-864s+13372s-10029=0[/latex]Выносим общий множитель[latex]16s^2(4s-3)+288s(4s-3)+3343(4s-3)=0\ (4s-3)(16s^2+288s+3343)=0\ s=0.75[/latex]Уравнение 16s²+288s+3343=0 решений не имеет, так как D<0Таким образом для решения уравнения остается квадратное уравнение[latex]i^2+i sqrt{2s-p} - frac{q}{2sqrt{2s-p}}+s=0 [/latex]Заменяем  [latex]i^2+isqrt{2cdot0.75+34.5}- frac{168}{sqrt{2cdot0.75+34.5}} +0.75=0\ 4i^2+24i-53=0\ D=b^2-4ac=576+848=1424\ i= dfrac{-6pm sqrt{89} }{2} [/latex]Возвращаемся к замене  [latex]x=i-1.5=dfrac{-6pm sqrt{89} }{2}- dfrac{3}{2} =dfrac{-9pm sqrt{89} }{2}[/latex]Окончательный ответ: [latex]dfrac{-9pm sqrt{89} }{2}.[/latex]