X^3-y^3=7 решить уравнение в натуральных числах

по формуле разности кубов:[latex]7=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)[/latex]поскольку x и y - натуральные числа, то (x - y) и (x^2+xy+y^2) это целые числапричем 7 делится на оба7 - простое число, оно делится только на себя и на 1следовательно мы получили две системы:[latex] left { {{x-y=1} atop {x^2+xy+y^2=7}} ight. \ left { {{x-y=7} atop {x^2+xy+y^2=1}} ight. [/latex]решаем первую:[latex]x-y=1\ y=x-1\ 7=x^2+x(x-1)+(x-1)^2=3x^2-3x+1\ 3x^2-3x-6=0\ x^2-x-2=0\ D=1+4*2=9\ x_{1} = frac{1+3}{2} =2\ x_{2} = frac{1-3}{2} =-1\ y_{1}=1\ y_{2}=-2[/latex]решаем вторую:[latex]x-y=7\ y=x-7\ 1=x^2+x(x-7)+(x-7)^2=3x^2-21x+49\ 3x^2-21x+48=0\ x^2-7x+16=0\ D=49-4*16 extless 0[/latex]корней нетответ: x = 2 и y = 1; x = -1 и y = -2