(n^5-n) делится на 30

[latex]n^5-n=ncdot(n^4-1)=ncdot(n^2-1)cdot(n^2+1)= \ \ =ncdot(n-1)cdot(n+1)cdot (n^2+1)=(n-1)cdot ncdot(n+1)cdot (n^2+1)[/latex](n-1)·n·(n-1)- три последовательных натуральных числа, среди них одно обязательно кратно 3, одно кратно 2, значит все произведение кратно 6осталось доказать кратность  5Среди любых пяти последовательных натуральных чисел, одно кратно 5, это число 5k.Второе дает  при делении на 5  остаток 1, это число 5k+1Третье  при делении на 5 дает остаток 2, это число 5k+2Четвертое при делении на 5 дает остаток 3, это число 5k+3Пятое при делении на 5 дает остаток 4, это число 5k+41)если n=5k, то произведение (n-1)·n·(n+1) кратно 52)если n=5k+1, то (n-1)=5k и произведение (n-1)·n·(n+1) кратно 53)если n=5k+2, то (n²+1)=(5k+2)²+1=25k²+20k+4+1=25k²+20k+5=5(5k²+4k+1) кратно 5 и произведение (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 54)если n=5k+3, то (n²+1)=(5k+3)²+1=25k²+30k+9+1=25k²+30k+10=5(5k²+6k+2) кратно 5 и произведение (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 55) если n=5k+4, то n+1=5k+4+1=5k+5=5·(k+1) - кратно 5 и произведение(n-1)n(n+1)  кратно 5.Ответ Все случаи рассмотрены. Доказано