Итак нужно доказать 1+1/2²+1/3²+...+1/n²<1.75 при любом значении n. P.s. Довольно сложное задание но на него я ставлю 95 баллов.

Возьмем уравнение 4-ой степени[latex] x^{4} + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x} +a_{4} =0[/latex]Допустим, что  [latex] b_{1}, b_{2} , b_{3}, b_{4} [/latex]являются корнями этого уравнения. Тогда:[latex](b_{1}-x)( b_{2}-x) (b_{3}-x) (b_{4}-x)=0[/latex]Но если корни не равны 0 тогда:[latex] frac{(b_{1}-x)( b_{2}-x) (b_{3}-x) (b_{4}-x)}{ b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} } =(1- frac{x}{ b_{1} } )( 1- frac{x}{ b_{2} }) (1- frac{x}{ b_{3} }) (1- frac{x}{ b_{4} })=0[/latex]Далее возьмем некоторый полином бесконечной степени:[latex]sin(x)=x- frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} -...[/latex]Теперь бесконечный полином: [latex] frac{sin(x)}{x} =(1- frac{x}{ pi } )( 1+frac{x}{ pi }) (1- frac{x}{ 2 pi }) (1+ frac{x}{ 2 pi })...[/latex]Преобразуем данное равенство:[latex] frac{sin(x)}{x} =(1- frac{x^2}{ pi ^2} )( 1-frac{x^2}{ 4pi^2 })...[/latex]Отсюда мы получаем, что:[latex](-1- frac{1}{4} - frac{1}{9} - ... )( frac{1}{ pi ^2} ) x^{2} [/latex]Поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для [latex] frac{sin(x)}{x} [/latex], коэффициент при [latex] x^{2} [/latex] должен быть равен [latex]- frac{1}{3!} = -frac{1}{6} [/latex].Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на [latex] -pi ^2[/latex], из этого получим [latex]1+ frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + ...= frac{ pi ^2}{6} =1.644..[/latex]Следуя из этого мы получаем что [latex]1.644 extless 1.75[/latex]

1) Базис индукции: n=1[latex]1 extless 1.75[/latex] - выполняется2) Предположим что и при n=k оно тоже верно1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/k² < 1.753) Индуционный переход n=k+1;1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/k² + 1/(k+1)² < 1.75 + 1/(k+1)² = (7(k+1)² + 4)/(k+1)² = (7k² + 14k + 1)/(k+1)²