Дан треугольник. Внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны 5 и 15 соответственно.

 Очень кондовое решение  Пусть [latex] AB=a \ BC=b \ AC=c \ c=30*sinB\ a=30*sin(A+B) \ b=30*sinA \ [/latex]Последнее через теореме синусов  Тогда , из условию следует что [latex]sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA [/latex]  Это следствие из формулы [latex] S=pr\ S=frac{abc}{4R}[/latex]     Теперь , положим что [latex] angle A= angle B \ [/latex]Из выше описанной формулы следует что   [latex] A=B=2arctg( sqrt{frac{5-sqrt{12}}{13}} )\ [/latex]  [latex] b=c=5sqrt{24-6sqrt{3}} \ a=10sqrt{5+2sqrt{3}} [/latex]      Впишем наш контр пример , в координатную систему [latex] OXY[/latex]    [latex] A(0;0) \ B(10sqrt{5+2sqrt{3}};0)[/latex]   Тогда центры меньших треугольников будут равны [latex] O_{A} (r sqrt{5+sqrt{12}} ; r) \ O _{B} ((sqr{5+sqrt{12 })*(10-r) ; r) [/latex] [latex]O_{N} (5 sqrt{5+sqrt{12}} ; y) \ O_{C} (5sqrt{5+sqrt{12}} ; y+2r) [/latex]  Найдем координату [latex] y[/latex]    Его можно найти    Из уравнения  [latex] (x-rsqrt{5+sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 \ ( (x - sqrt{5+sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2 [/latex]            Найдя его , затем учитывая что  [latex] d( O_{A}O_{N}) = 4r^2[/latex]          Найдем что [latex] r=3[/latex]                                        Но задача , видимо решается через так  называемую                       ГОМОТЕТИЮ