Докажите, что для любого натурального числа n справедливо неравенство[latex] frac{2}{(n+2)^2} extless frac{1}{n+1}- frac{1}{n+3} [/latex]

[latex]frac{2}{(n+2)^2}=frac{2}{n^2+4n+4}\\frac{1}{n+1}-frac{1}{n+3}=frac{n+3-n-1}{(n+1)(n+3)}=frac{2}{n^2+4n+3}\\n^2+4n+4 extgreater n^2+4n+3, ; t.k.; ; ; (n^2+4n)+4 extgreater (n^2+4n)+3[/latex]Если числители дробей равны, то та дробь меньше, у которой знаменатель больше, поэтому[latex]frac{2}{n^2+4n+4} extless frac{2}{n^2+4n+3}; ; Rightarrow ; ; frac{2}{(n+2)^2} extless frac{1}{n+1}-frac{1}{n+3}[/latex]