Докажите,что число (√2-1)в сотой степени можно представить в виде √m+1-√m,где m натуральное число.

Если в числе [latex]( sqrt{2} -1)^{100}[/latex]  раскрыть 100-ую степень по биному Ньютона, то получится сумма слагаемых вида  [latex]C_{100}^k(sqrt{2})^{k}(-1)^{100-k}[/latex] по k от 0 до 100. При четных k эти слагаемые будут натуральными числами, а при нечетных k они имеют вид [latex]-asqrt{2}[/latex], где а - натуральное. Значит, [latex]( sqrt{2} -1)^{100}=A-Bsqrt{2}[/latex], при некоторых натуральных [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]. (для решения задачи нет нужды их явно вычислять). Опять же из бинома Ньютона понятно, что тогда [latex]( sqrt{2} +1)^{100}=A+Bsqrt{2}[/latex], т.к. в нем будут те же слагаемые, только все со знаком плюс. Перемножив эти два соотношения, получим [latex]A^2-2B^2=(A-Bsqrt{2})(A+Bsqrt{2})=(sqrt{2}-1)^{100}(sqrt{2}+1)^{100}=1[/latex], то есть [latex]A^2=2B^2+1[/latex]. Поэтому, если положим [latex]m=2B^2[/latex], то получим, что [latex]sqrt{m+1}-sqrt{m}=sqrt{2B^2+1}-sqrt{2B^2}=sqrt{A^2}-sqrt{2B^2}=\=A-Bsqrt{2}=( sqrt{2} -1)^{100}.[/latex]