Решить в целых чисел уравнение (1/x) + (1/y) + (1/z) = 1

Среди чисел x,y,z обязательно есть хотя бы одно натуральное число, иначе левая часть уравнение имеет отцательное значение. Пусть это число х. Рассмотрим отдельные случаи1. [latex]x=1[/latex], тогда [latex] frac{1}{y} + frac{1}{z} =0,, Rightarrow,,,y=-z=kin N[/latex]Имеем тройку [latex](1,k,-k)[/latex] получены с нее с помощью перестановок2. х=2, тогда [latex] frac{1}{y} + frac{1}{z}= frac{1}{2} ,, Rightarrow,, frac{1}{z} = frac{1}{2} - frac{1}{y} ,,,,Rightarrow,,, frac{1}{z} = frac{y-2}{2y}\ z= frac{2y}{y-2},,Rightarrow,, 2+ frac{4}{y-2} [/latex]Поскольку z- целое число, то имеем y-2=1, откуда y=3, тройка [latex](2,3,6)[/latex]y-2=-1, y=1 тройка (2,1,-2)y-2=1, y=3, тройка (2,4,4)y-2=-2, но y≠0y-2=4, y=6, тройка (2,6,3)y-2=-4 ⇒ y=-2, тройка (2,-2,1)3. x≥3, тогда [latex] frac{1}{y}+ frac{1}{z} =1- frac{1}{x } geq frac{2}{3} [/latex], поэтому среди чисел y и z есть хотя бы одно натуральное число, пусть это будет у.При у≥3[latex] frac{1}{z} geq frac{2}{3} - frac{1}{y} geq frac{2}{3} - frac{1}{3} = frac{1}{3} [/latex], откуда 1 ≤ z ≤ 3x=y=z=3 при у≥3 и x≥3Ответ: (1,k,-k), (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3) и те полученные перестановки