Для кожного натурального числа n знайдiть усi такi пари натуральних чисел x i y, що x n − y n = 2015.

2015=5·13·311)  Пусть     n=2x²-y²=(x-y)·(x+y)  т.е.  (x-y)·(x+y)=5·13·31  ⇒Решаем три системы уравненийх-у=5        или      х-у=13      или       х-у=31х+у=403              х+у=155                х+у=65Складываем уравнения2х=408                2х=168                2х=96х=204                    х=84                  х=48у=199                    у=71                  у=17204²-199²=41616-39601=2015 - верно84²-71²=7056-5041=2015 - верно48²-17²=2304-289=2015 - верно2) пусть n=3x³-y³=(x-y)·(x²+xy+y²)(x-y)·(x²+xy+y²)=2015(x-y)·(x²+xy+y²)=5·13·31Решаем три системы уравненийx-y=5                              х-у=13                          х-у=31x²+xy+y²=403                х²+ху+у²=155                 х²+ху+у²=65Решаем методом подстановки   х=5+у(5+у)²+(5+у)·у+у²=403    ⇒    у²+5у-126=0      D=25+4·126=529=23²y₁=-14                  y₂=9  x₁=5+y₁=5-14=-9     x₂=5+9=14натуральные х и у это пара 14 и 914³-9³=2744-729=2015  - вернох=13+у(13+у)²+(13+у)·у+у²=155  ⇒  3у²+39у+14=0    D=39²-4·3·14=1353получим х и у - иррациональныех=31+у(31+у)²+(31+у)·у+у²=65  ⇒  3у²+93у+104=0    D=93²-4·3·104=получим  х и y   иррациональные 3) Пусть n=4x⁴-y⁴=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²) (x-y)(x+y)(x²+y²)=5·13·31  (х-у)·(х³+х²у+ху²+у³)=5·13·31Получим системых-у=5                                          х-у=13                        х-у=31х³+х²у+ху²+у³=403             х³+х²у+ху²+у³=155         х³+х²у+ху²+у³=65системы не имеют натуральных решений4) При  n=5 x⁵-y⁵=2015(x-y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)=2015и т.дОтвет.  при n=2х=204                    х=84                  х=48у=199                    у=71                  у=17при  n=3x=14y=9