Сколько существует натуральных чисел a не превосходящих 4000, для которых можно подобрать такие неотрицательные целые x,y,z, что x2(x2+2z)−y2(y2+2z)=a.

Выражение можно переписать как (x-y)(x+y)(x²+y²+2z).Если х и y имеют разную четность, то все выражение нечетное (т.к. сумма и разность чисел разной четности - нечетные)..Если x и y оба четные, то все выражение делится на 8 (каждая скобка делится на 2).Если х и y оба нечетные, то опять все выражение делится на 8 (т.к. сумма и разность нечетных чисел - четные).Если х=1, y=0, то все выражение равно 2z+1, т.е. a может быть любым нечетным числом.Если х=2, y=0, то все выражение равно 8(2+z), т.е. а может быть любым числом кратным 8, кроме 8.  И вообще, все это выражение не может равняться 8, т.к.если выражение кратно 8 и х≠y, то x-y≥2 и x+y≥2, а значит (x-y)(x+y)(x²+y²+2z)≥4(4+2z)≥16.Таким образом, а может быть любым нечетным числом, а их в интервале от 1 до 4000 всего 4000/2=2000 штук, любым кратным 8, кроме самой 8, а их всего 4000/8-1=499. Итого, существует 2499 значений а.