Cos2π / 7 + cos4π / 7 + cos6π / 7 = -1 / 2 даказать

Если знаете про комплексные числа, то вот короткое доказательство.Обозначим x=cos(π/7)+i sin(π/7). Тогда x^7=cos(π)+i sin(π)=-1.Т.огда x^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0. Т.к. x≠1, то x^6+x^4+x^2=x+x^3+x^5-1Возьмем действительную часть от обеих сторон этого равенства:cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7)=cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)-1.Но cos(π/7)=-cos(6π/7), cos(3π/7)=-cos(4π/7), cos(5π/7)=-cos(2π/7). Заменяем косинусы в правой части и переносим их влево: 2(cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7))=-1, что и требовалось.

Для решения воспользуемся тождеством [latex]cos alpha +cos2 alpha +cos3 alpha +...+cosn alpha = frac{sin frac{n alpha }{2}cos frac{(n+1) alpha }{2} }{sin frac{ alpha }{2} } [/latex].Подставив вместо n=3 и α=2π/7, получим [latex]cos frac{2 pi }{7} +cos frac{4 pi }{7}+cos frac{6 pi }{7}= frac{sin frac{3 pi }{7}cosfrac{4 pi }{7}}{sin frac{ pi }{7} } = frac{sin pi -sin frac{ pi }{7} }{2sin frac{ pi }{7} } =- frac{1}{2} } } [/latex]