Найти параметр а, при котором уравнение2a cosx - 2 sinx = a имеет хотя бы одно решение на отрезке [π/2; π]

[latex]2acos x-2sin x=a\ 2a| sqrt{1-sin^2x} |-2sin x=a[/latex]Пусть [latex]sin x=t[/latex], причем [latex]|t| leq 1[/latex], тогда получаем[latex]2a| sqrt{1-t^2}|-2t=a [/latex]ОДЗ: 1-t²≥0, откуда |t|≤1  ⇒  -1 ≤ t ≤ 1[latex]2a sqrt{1-t^2}=2t+a \ sqrt{1-t^2}= frac{2t+a}{2a}\ 1-t^2= frac{(2t+a)^2}{4a^2}\ (1-t^2)4a^2=4t^2+4ta+a^2\ 4a^2-4a^2t^2-4t^2-4ta-a^2=0\ -4t^2(1+a^2)-4at+3a^2=0 [/latex]Находим дискриминант[latex]D=b^2-4ac=(-4a)^2-4cdot(-4)cdot(1+a^2)cdot 3a^2=\=16a^2+48a^2(1+a^2)=16a^2+48a^2+48a^4=64a^2+48a^4\ D=0\ 16a^2(4+3a^2)=0\ a=0[/latex]Итак, подставив а=0, получаем-2sinx=0x=πk,k ∈ ZОтбор корней на отрезке [π/2;π]k=1; x=π - одно решениеОтвет: при а=0 уравнение имеет решений на отрезке [π/2;π]