При каком условии интеграл [latex] intlimits{ frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} } , dx [/latex] представляет собой рациональную функцию? Нужно как то доказать.

Положим [latex] frac{nx^2+mx+v}{x^3} + frac{ux+y}{(x-1)^2} = frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} [/latex]  Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты [latex] n+u=0 \ m-2n+y=0\ -2m+n+v=a \ m-2v=b \ v=c [/latex]        [latex] m=2c+b \ n= a+2b+3c \ u=-a-2b-3c \ v=c \ y=2a+3b+4c [/latex]     [latex]frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}[/latex]    По отдельности [latex] frac{a+2b+3c}{x} + frac{2c+b}{x^2} + frac{c}{x^3}[/latex] [latex] + frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}[/latex] По свойству интеграла [latex] intlimit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =intlimits{f_{1}(x)} , dx+intlimits { f_{2}(x)}dx+...+[/latex] Получим  [latex]frac{a+b+c}{1-x} - frac{b+2c}{x} - frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C[/latex] Откуда следует  , для того чтобы функция была рациональной   [latex] 1) a+2b+3c=0 \a+b+c extgreater 0 \ b+2c extless 0\ c extless 0 \\ 2)a+2b+3c=0 \ a+b+c extless 0 \b+2c extgreater 0\ c extless 0 \\ 3) a+2b+3c=0\a+b+c extless 0 \ b+2c extgreater 0\ c extgreater 0 \\ [/latex] Откуда решения      [latex] 1) \ a extgreater 0 ; b extgreater -frac{a}{2} ; c=frac{-a-2b}{3} \ a leq 0 b extgreater -2a ; c = frac{-a-2b}{3}[/latex][latex] 2) \ a extless 0 ; -frac{a}{2} extless b extless -2a ; c = frac{-a-2b}{3}[/latex]                                        [latex] 3) \ a extgreater 0 ; b extless -2a ; c=frac{-a-2b}{3} \ a leq 0 b extless -frac{a}{2} c=-frac{-a-2b}{3}[/latex]