Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон АВ и CD в точках M и N соответственно. Отрезок AN пересекает окружность в точке K, а луч MK пересекает основание AD в точке L. а) Докажите, что треугольники AKL и МAL подобны. б) Найдите отношение AL:LD.

a) Из симметрии всей этой "конструкции" MN II AD; поэтому ∠KAL = ∠MNK; но ∠MNK = ∠AMK; (поскольку эти углы "измеряются" половиной дуги MK);то есть у треугольников AKL и MAL ∠ALM общий, а ∠AML = ∠KAL; следовательно эти треугольники подобны по двум углам.б) Из той же симметрии следует ∠KAL = ∠MDA; => ∠MDA = ∠AML; то есть получается, что есть еще один треугольник, подобный AKL и MAL - это треугольник AMD;то есть AL/AM = AM/AD; Если обозначить P - точка касания AD с окружностью, то AM = AP; и (опять таки - из симетрии :) ) AP = AD/2;получилось AM = AD/2; AL = AM^2/AD = AD/4; AL/AD = 1/4; довольно странный результат - получается L - середина AP;