Тригонометрическое уравнение [latex]sin2x+3=3sinx+3cosx[/latex]

[latex]sin 2x+3=3sin x+3cos x\ sin 2x+3(sin^2x+cos^2x)-3(sin x+cos x)=0\ sin2x+3(sin^2x+cos^2x+sin2x-sin2x)-3(sin x+cos x)=0\ sin 2x+3((sin x+cos x)^2-sin2x)-3(sin x+cos x)=0\ sin2x+3(sin x+cos x)^2-3sin2x-3(sin x+cos x)=0\ 3(sin x+cos x)^2-3(sin x+cos x)-2sin 2x=0[/latex] Пусть [latex]sin x+cos x=t,(|t| leq sqrt{2} )[/latex], тогда возведем обе части в квадрат: [latex]1+sin2x=t^2[/latex], откуда [latex]sin2x=t^2-1[/latex]Заменяем[latex]3t^2-3t-2(t^2-1)=0\ 3t^2-3t-2t^2+2=0\ t^2-3t+2=0[/latex]По т. Виета[latex]t_1=2[/latex] - не удовлетворяет условию при [latex]|t| leq sqrt{2}[/latex][latex]t_2=1[/latex]Возвращаемся к замене[latex]sin x+cos x=1[/latex]А теперь есть формула [latex]a sin xpm bcos x= sqrt{a^2+b^2}sin(xpmarcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} }) [/latex]В нашем случае[latex] sqrt{1^2+1^2}sin (x+arcsin frac{1}{ sqrt{1^2+1^2} } )=1\ sqrt{2}sin (x+ frac{pi}{4})=1\ sin (x+ frac{pi}{4})= frac{1}{sqrt{2}} \ x+frac{pi}{4}=(-1)^kcdot frac{pi}{4}+pi k,k in Z\ x=(-1)^kcdot frac{pi}{4}-frac{pi}{4}+pi k,k in Z [/latex]