Задание 4. Доказать, что при каждом n принадлежащем N число 7^2n-1 делится на 48 Задание 5. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство 1+2+3+⋯+n=1/2 n(n+1) Задание 6. Доказать, что для любого n принадлежащего N справедливо равенство 1∙4+2∙7+3∙10+n(3n+1)=n〖(n+1)〗^2

 [latex] 7^{2n}-1 \ [/latex] положим что оно делиться на [latex]48[/latex] ,тогда методом математической индукций , оно должно делится и на         [latex] n+1 [/latex]    [latex] 7^{2(n+1)}-1 = 7^{2n}*49-49+48 = (7^{2n}-1)*49+48[/latex] откуда и следует утверждение , так как [latex] 7^{2n}-1[/latex] делится на [latex] 48[/latex] , а   [latex]48[/latex] делится на само себя , то и все выражение делится      на [latex] 48[/latex]                  Можно представить как арифметическую прогрессию и по формуле    [latex]1+2+3+...+n\ S_{ariph} = frac{2*1+1*(n-1)}{2}*n = frac{n+1}{2}*n[/latex]     [latex] 1*4+2*7+3*10 + n(3n+1) = n*(n+1)^2 \ [/latex]  пусть оно верно для первого члена , тогда для последующего , получим    при   [latex]n+1[/latex]        [latex] 1*4+....+n(3n+1)+(n+1)(3n+4 ) = (n+1)(n+2)^2 \ n(n+1)^2+(n+1)(3n+4) = (n+1)((n+1) n + 3n+4) \ (n+1)( n^2+4n+4) = (n+1)(n+2)^2 [/latex]       Верно