Найдите все натуральные числа ,делящиеся на5 и на9,имеющие ровно 10делителей (включая единицу и само число).

Раз делится на 9 и 5, то это число имеет вид [latex]3^{2+n}5^{1+k}d,[/latex] где [latex]n,k geq 0[/latex] и [latex]d geq 1.[/latex] Тогда число его делителей будет равно [latex](3+n)(2+k)t=10[/latex], где t - число делителей числа d. Т.к. 3>2 и 2>1 и 10 можно представить только в виде 1*10 или 2*5, то обязательно 3+n=5, т.е. n=2 и 2+k=2, т.е. k=0, а также t=1, т.е. d=1. Таким образом, возможно только [latex]3^4cdot 5^1=405.[/latex]