В треугольнике две высоты равны 12 и 20. Найдите максимальное возможное целое значение длины третьей высоты.

Увы, я поторопился :)))Было выложено такое решение. 2*S = a*12 = b*20 = c*h;b = (3/5)*a; минимальное значение c = a - b = (2/5)*a; откуда максимальное значение h = = (5/2)*12 = 30; ноЭто не может быть ответом, потому что при c = a - b; S = 0; и соотношения типа 2*S = a*12 = b*20 теряют смысл. Однако значение h = 29 может быть реализовано. При этом треугольник будет подобен треугольнику со сторонами 1, 3/5, 12/29; и надо просто так подобрать коэффициент подобия, чтобы высота к стороне, которая соответствует 1, равнялась бы 12. Вычислять этот коэффициент нет смысла, потому что вопрос в задаче - найти максимальное ЦЕЛОЕ значение h, а следующее ЦЕЛОЕ значение - 30.

  пусть высота равна [latex]x[/latex], стороны [latex]a;b;c[/latex] [latex] 12a=20b=x*c \ frac{12a}{x} ; frac{12a}{20} ; a[/latex] По теореме косинусов   [latex]a^2 + frac{144*a^2}{400 }- fac{24*a^2}{20} * cosa = frac{144*a^2}{x^2}\ cosa= frac{17}{15} - frac{120}{x^2}[/latex]   теперь чем острее угол тем больше высота  [latex]frac{17}{15} - frac{120}{x^2}=1\ x=30[/latex]   значит  он будет равен [latex]29[/latex]  при этом , угол будет примерно равен [latex] 7а[/latex]