Точки [latex] A_{1} , B_{1} , [/latex] и [latex] C_{1} [/latex] - основания высот треугольника ABC, О - центр его описанной окружности. а) Докажите, что OA перпендикулярно [latex] B_{1} C_{1} [/latex] б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что [latex]A_{1} B_{1} =21, A_{1} C_{1} =17, B_{1} C_{1} =10[/latex]

По известному соотношению углов , в треугольнике [latex] AB_{1}C_{1}[/latex] [latex] AC_{1}B_{1} = ACB\ AB_{1}C_{1} = ABC [/latex] Так как [latex] AOC=2*ABC[/latex] [latex] OAC= 90-ABC \ BC_{1}C=90-BAC\ [/latex] значит угол который мы находим равен [latex]ABC+BAC+BCA-90 = 180-90 = 90 [/latex] то есть он перпендикулярен      Положим   [latex] BC=x;AC=z;AB=y[/latex]  из подобия треугольников    [latex]B _{1}A_{1}C \ B_{1}C_{1}A \ A_{1}C_{1}B [/latex]   [latex] x=frac{17y}{z}+ frac{21z}{y}\ z=frac{21x}{y}+frac{10y}{x}\ y=frac{17x}{z}+frac{10z}{x}[/latex]      [latex] x=10sqrt{17} \ y=3sqrt{85}\ z= 17sqrt{5}\ S_{ABC}= 510[/latex]