В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС.

Пусть точка О - точка пересечения АД и ВЕ.В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник  - равнобедренный АВ=ВД.ВС=2ВД=2АВПо свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ2АВ/ЕС=АВ/АЕЕС=2АЕАС=АЕ+ЕС=3АЕПроведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М.ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД).Значит АС=ВМ=3АЕ.ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам:АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3ЕО/ВО=1/3ВО=3ЕОВЕ=ВО+ЕО=4ЕОЕО=ВЕ/4=4/4=1ВО=3Из прямоугольного ΔАОВ:АВ²=АО²+ВО²=4+9=13сторона АВ=√13сторона ВС=2√13Из прямоугольного ΔАОЕ:АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5сторона АС=3√5Ответ: √13, 2√13 и 3√5