[latex]int frac{(x^2+1)dx}{x(x^2-10x+25)}=int frac{(x^2+1)dx}{x(x-5)^2}=I\\frac{x^2+1}{x(x-5)^2}=frac{A}{x}+frac{B}{(x-5)^2}+frac{C}{x-5}=frac{A(x-5)^2+Bx+Cx(x-5)}{x(x-5)^2}; ; Rightarrow \\x=0,; A=frac{0+1}{(0-5)^2}=frac{1}{25};\\x=5,; B=frac{5^2+1}{5}=frac{26}{5};\\x^2, |, 1=A+C, ;; ; C=1-A=1-frac{1}{25}=frac{24}{25};[/latex][latex]I=int (frac{1/25}{x}+frac{26/5}{(x-5)^2}+frac{24/25}{x-5})dx=\\=frac{1}{25}int frac{dx}{x}+frac{26}{5}int (x-5)^{-2}dx+frac{24}{25}int frac{dx}{x-5}=\\=frac{1}{25}cdot ln|x|+frac{26}{5}cdot frac{(x-5)^{-1}}{-1}+frac{24}{25}cdot ln|x-5|+C=\\=frac{1}{25}cdot ln|x|-frac{26}{5(x-5)}+frac{24}{25}cdot ln|x-5|+C[/latex]P.S. Можно все коэффициенты  считать методом неопределенных коэффициентов. Здесь этим методом подсчитан только коэффициент С. А остальные с помощью придания переменным удобных значений (модификация метода неопред. коэффициентов).