Решите задачу.Разница катетов равна 10 см, а длина описанного круга равна 50[latex] pi [/latex] см. Найдите плащадь треугольника.

Обозначим катеты через а и b, а гипотенузу - с. [latex]C=2 pi R[/latex] - длина опписанного круга. R - средина гипотенузы, тоесть гипотенуза является диаметром круга и равен он c=2R Вычислим радиус описанной окружности[latex]R= frac{C}{2 pi } = frac{50 pi }{2 pi } =25[/latex] откуда гипотенуза с = 2R=50 см. По т. Пифагора[latex]50^2=a^2+b^2[/latex]По условию: [latex]a-b=10[/latex] Составим систему уравнений[latex]egin{cases} & ext{ } c^2=a^2+b^2 \ & ext{ } a-b=10 end{cases}o egin{cases} & ext{ } 50^2=(10+b)^2+b^2 \ & ext{ } a=10+b end{cases} [/latex] [latex]100+20b+b^2+b^2=2500\ 2b^2+20b-2400=0|:2\ b^2+10b-1200=0[/latex] По т. Виета: [latex]egin{cases} & ext{ } b_1+b_2= frac{-b}{a}=-10 \ & ext{ } b_1cdot b_2= frac{c}{a}=-1200 end{cases}o egin{cases} & ext{ } b_1=-40 \ & ext{ } b_2=30 end{cases} [/latex]b = - 40 посторонний корень.[latex]a_2=30+10=40[/latex] смПлощадь прямоугольного треугольника : [latex]S= dfrac{40cdot 30}{2}=600 [/latex] см²Окончательный ответ: 600 см²