нехотя -обособляется с двух сторон запятыми т.к это в водное слово которое стоит в середине предложение, это сложное предложение поэтому после иволга тоже ставиться запятая.

Направо, в старом фруктовом саду, нехотя, слабым голосом пела иволга,  должно быть, тоже старая. (Жирным шрифтом я выделила слова, в которых у вас ошибки)"в старом фруктовом саду" - это уточняющая конструкция, которая выделяется запятыми с двух сторон."нехотя" - деепричастие."должно быть" - вводное слово.