Пусть альфа и бета решение уравнения x^2-x+4=0 Тогда бета/альфа+альфа/бета=?

По теореме Виета:[latex]displaystyle alpha + eta=-b;[/latex][latex]displaystyle alphaeta=c.[/latex]Разделим первую строчку на вторую:[latex]displaystyle frac{alpha + eta}{alphaeta}=-frac{b}{c};[/latex][latex]displaystyle frac{alpha}{alphaeta}+frac{eta}{alphaeta}=-frac{b}{c};[/latex][latex]displaystyle frac{1}{eta}+frac{1}{alpha}=-frac{b}{c};[/latex]Последнее равенство умножим на [latex]displaystyle eta[/latex] и отнимем единицу:[latex]displaystyle frac{eta}{alpha}=-frac{b}{c}eta-1;[/latex]Отдельно то же самое равенство умножим на [latex]displaystyle alpha[/latex] и отнимем единицу:[latex]displaystyle frac{alpha}{eta}=-frac{b}{c}alpha-1;[/latex]Сложим последние два равенства:[latex]displaystyle frac{eta}{alpha}+frac{alpha}{eta}=-frac{b}{c}eta-1-frac{b}{c}alpha-1;[/latex]В правой части вынесем [latex]displaystyle -frac{b}{c}[/latex] за скобки:[latex]displaystyle frac{eta}{alpha}+frac{alpha}{eta}=-frac{b}{c}left(alpha+etaight)-2;[/latex]А по уже приведённой теореме Виета, [latex]displaystyle alpha+eta=-b[/latex]:[latex]displaystyle frac{eta}{alpha}+frac{alpha}{eta}=-frac{b}{c}left(-bight)-2;[/latex][latex]displaystyle frac{eta}{alpha}+frac{alpha}{eta}=oxed{frac{b^2}{c}-2}phantom{.}.[/latex]Обратим внимание, что приведённое равенство справедливо для любого квадратного уравнения вида [latex]displaystyle ax^2+bx+c=0[/latex], где [latex]displaystyle alpha[/latex] и [latex]displaystyle eta[/latex] — его корни.Наконец, подставим в полученное равенство значения [latex]displaystyle a[/latex], [latex]displaystyle b[/latex] и [latex]displaystyle c[/latex] из данного уравнения:[latex]displaystyle a=1;[/latex][latex]displaystyle b=-1;[/latex][latex]displaystyle c=4;[/latex][latex]displaystyle frac{eta}{alpha}+frac{alpha}{eta}=frac{b^2}{c}-2=frac{left(-1ight)^2}{4}-2=frac{1}{4}-frac{8}{4}=oxed{-frac{7}{4}}phantom{.}.[/latex]Обратите внимание, однако, что для нахождения величины [latex]displaystyle frac{eta}{alpha}+frac{alpha}{eta}[/latex] решать исходное уравнение (находить численные значения [latex]displaystyle alpha[/latex] и [latex]displaystyle eta[/latex]) не пришлось вовсе, что весьма интересно.