В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 корней из 3, боковое ребро 5 см. Найдите объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

Vпир=(1/3)*Sосн*hSбок=(1/2)*Pосн*l, где Sосн - площадь основания (правильный треугольник), h - высота пирамиды, Pосн - периметр основания, l - апофема=боковое ребро пирамиды.Sосн=[latex] frac{1}{2}*4 sqrt{3}* 4sqrt{3}*sin60=24* frac{ sqrt{3} }{2}=12 sqrt{3} [/latex]Sбок=[latex] frac{1}{2}*(4 sqrt{3}*3)*5=30 sqrt{3} [/latex]Найдём объём пирамиды. Пусть SABC - пирамида, SO=h - её высота. Проведём СМ - высоту в равностороннем треугольнике основания (она также будет являться медианой) и медиану BL. Тогда точка O окажется в точке пересечения медиан. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то есть CO=(2/3)CM. Из прямоугольного треугольника CMB найдём [latex]CM=BC*sin60=4 sqrt{3}* frac{ sqrt{3}}{2}=6 [/latex]. Тогда [latex]OC= frac{2}{3}*6=4 [/latex]. По теореме Пифагора в ΔSOC: [latex]h=SO= sqrt{25-16}=3 [/latex]. [latex]V= frac{1}{3}*12 sqrt{3}*3=12 sqrt{3}. [/latex]