[latex]10a+a^2+c^2-2ac-10c+1=\=(a^2-2ac+c^2)+(10a-10c)+1=\=(a-c)^2+10(a-c)+1\\f(a-c)=(a-c)^2+10(a-c)+1 [/latex]Производим замену переменной:   а-с=х,тогда f(x)=x²+10x+1Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. коэффициент при x² больше нуля, значит наименьшим значением выражения является вершина данной параболы. Найдем её:[latex]x_b= frac{-10}{2*1}=-5\\y_b=(-5)^2-10(-5)+1=25-50+1=-24 [/latex]Итак, наименьшее значение выражения равно -24