В треугольника АВС через G обозначено точку пересечения медиан; через r, r1, r2, r3 - радиусы кругов, вписанных в треугольники ABC, GAB, GBC, GAC, соответственно; p - полупериметр треугольника АBC.[latex] frac{1}{r_1}+ frac{1}{r_2} + frac{1}{r_3} geq frac{3}{r}+ frac{18}{p} [/latex]

Пусть [latex]a,,b,,c,,m_a,,m_b,, m_c[/latex] - длины сторон и медиан треугольника ABC, [latex]S_{ABC}=S.[/latex]Воспользовавшись формулу [latex]S=pr[/latex] и то, что [latex]S_{GBC}=S_{GAB}=S_{GAC}= frac{S}{3} [/latex], получаем, что нужно доказать неравенство.    Подставив вместо р и r, получим[latex] frac{3a+2(m_b+m_c)}{2S} + frac{3b+2(m_a+m_b)}{2S} + frac{3c+2(m_a+m_b)}{2S} geq frac{3(a+b+c)}{2S} + frac{36}{a+b+c} [/latex]Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный[latex] frac{m_a+m_b+m_c}{S} geq frac{6S}{a+b+c} [/latex]Или имеем такое равенство: [latex] frac{m_a}{3} + frac{m_b}{3}+ frac{m_c}{3} geq frac{6S}{a+b+c} [/latex]Пусть [latex]d_a,, d_b,, d_c-[/latex]расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что [latex]d_a leq frac{m_a}{3} ,,d_b leq frac{m_b}{3} ,, d_c= frac{m_c}{3} [/latex] Также имеем[latex]d_a= frac{2S_{GBC}}{a} = frac{2S}{3a} [/latex]. Аналогично, [latex]d_b= frac{2S}{3b} ,,, d_c= frac{2S}{3c} [/latex]Достаточно доказать неравентсво [latex] frac{2S}{3a} + frac{2S}{3b}+ frac{2S}{3c} geq frac{6S}{a+b+c} [/latex], которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел:        [latex] frac{a+b+c}{3} geq frac{3}{ frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c} } [/latex]