Окружность вписанная в квадрате АВСD, касается его стороны АВ в точке К,А стороны АD точки Е. Отрезки СК и СЕ пресекают окружность в точках М и Р соответсвенно а) Докажите, что прямые ЕК и МР параллельны б) Найдите МЕ, если стороны квадрата равна 1

а) Рассмотрим ΔEKCПусть AB = aПо теореме Пифагора:[latex]EC = sqrt{ED ^{2} + DC^{2} } = sqrt{ frac{a^{2} }{4} + a^{2} } = frac{ sqrt{5} a}{2} [/latex] (1)[latex]KC = sqrt{KB ^{2} + BC^{2} } = sqrt{ frac{a^{2} }{4} + a^{2} } = frac{ sqrt{5} a}{2} [/latex] (2)Тогда KC = EC ⇒ ΔKCE - равнобедренный.Тогда ∠EKC = ∠CEK.Рассмотрим четырехугольник EKMP.Он вписанный ⇒ ∠EPM = 180° - ∠EKM и ∠KMP = 180° - ∠KEP.Но ∠EKM = ∠EPM ⇒ ∠EKM + ∠KMP = 180° ⇒ эти углы односторонние. Значит, EK||PM.б) Из равенств (1) и (2) ⇒ [latex]KC = EC = frac{ sqrt{5} }{2} [/latex]По теореме Пифагора:[latex]EK = sqrt{ AK^{2} + AE^{2} } = sqrt{ frac{1}{4} + frac{1}{4} } = frac{1}{ sqrt{2} } = frac{ sqrt{2} }{2} .[/latex]По теореме о квадрате касательной:[latex]LC ^{2} = CM*CK[/latex][latex] frac{1}{4} = CM* frac{ sqrt{5} }{2} [/latex][latex]CM = frac{ sqrt{5} }{10} [/latex]В ΔEKC по теореме косинусов:[latex]cosECK = frac{ KC^{2}+ EC^{2}- EK^{2} }{2*KC*CK} [/latex][latex]cosECK = frac{ frac{5}{4} + frac{5}{4} - frac{1}{2} }{2* frac{5}{4} } = frac{ frac{8}{4} }{ frac{5}{2} } = frac{4}{5} [/latex]По теореме косинусов в ΔEMC[latex]EM = sqrt{EC^{2} + CM^{2} - 2EC*CM*cosECK} =[/latex] [latex]= sqrt{ frac{5}{4} + frac{5}{100} - 2*frac{ sqrt{5} }{2} * frac{ sqrt{5} }{10} * frac{4}{5} } = sqrt{ frac{5}{4} +frac{1}{20} - frac{2*5*4}{100} } = [/latex] =[latex] sqrt{ frac{5}{4} + frac{1}{20}- frac{4}{10} } = sqrt{ frac{25 + 1 - 8}{20} } = sqrt{frac{18}{20}} = sqrt{ frac{9}{10}} = frac{3}{ sqrt{10} } = frac{3 sqrt{10} }{10}.[/latex]