Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 дм. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

Пусть один катет х, другой у16²=х²+у²      ⇒  y  =√256-x²[latex]S(x)= frac{xy}{2}= frac{xcdot sqrt{256- x^{2} } }{2}[/latex]Исследуем функцию S(x) на экстремум.Находим производную:[latex]S`(x)= ( frac{xcdot sqrt{256- x^{2} } }{2})`= frac{1}{2}(x` sqrt{256- x^{2} }+x( sqrt{256- x^{2} })`) \ = frac{1}{2}( sqrt{256- x^{2} }+xcdot frac{-2x}{2 sqrt{256- x^{2} } } )= frac{1}{2}( frac{256- x^{2} -x^{2}}{ sqrt{256- x^{2} } } )[/latex] S`(x)=0256-2x²=02x²-256=0x²=128x=√128x=8√2y=√(256-128)=√128=8√2Ответ.Площадь будет принимать наибольшее значение, если треугольник прямоугольный, равнобедренный и катеты равны 8√2.