Х в степени  у + у в степени х =200

[latex]x^y+y^x=200[/latex]ОДЗ: [latex] left { {{x>0} atop {y>0}} ight. [/latex][latex]x^y+y^x-200=0[/latex]Пусть [latex]y^x=a,,,x^y=b[/latex]b+a-200=0a=-b+200[latex] left { {{a>0} atop {xlg(y)=lg(a)}} ight. \ left { {{b>0} atop {ylg(x)=lg(b)}} ight. [/latex][latex] left { {{b<200} atop {xlg(y)=lg(-b+200)}} ight. \ left { {{b>0} atop {ylg(x)=lg(b)}} ight. [/latex]Выразим переменную у[latex]y= frac{lg(b)}{lg(x)} \ \ xlg( frac{lg(b)}{lg(x)} )=lg(-b+200) \ x(lg(|lg(b)|)-lg(|lg(x)|))=lg(-b+200) \ x(lg(lg(b))-lg(lg(x))=lg(-b+200) \ x(lg(lg(b))-lg(lg(x))-lg(-b+200)=0 \ xlg(lg(b))-xlg(lg(x))-lg(-b+200)=0[/latex][latex]left { {{00} ight.o O[/latex]Теперь если[latex]left { {{lg(y)=lg(-b+200)} atop {x=1}} ight.[/latex][latex]lg(y)=lg(-b+200) \ y=-b+200[/latex]учитем что [latex]lg(b)=0o b=1[/latex][latex] left { {{b=1} atop {y=-1+200}}atop {a=-1+200} ight. o left { {{b=1} atop {y=199}}atop {x=1} ight. [/latex]ИЗ условия видно, что х и у имеют зеркальные решения если х=а и у=с, то и х=с и у=аОтвет: х = 1; у =199. и  x=199; y=1