Точки M и N - середины соседних сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

пусть P = точка пересечения AM и BD; Q точка пересечения AN и BDзаметим что APD подобен MPB. и из подобия AP = 2PM; (соответственно AP =  [latex] frac{2*AM}{3} [/latex])аналогично из подобия ABQ и NQD, AQ = 2QN. AQ = [latex] frac{2*AN}{3} [/latex]Вектор AP = [latex] frac{2AM}{3} = frac{2}{3} * ( frac{AB+AC}{2} ) = frac{AB+AB+BC}{3} = frac{2*AB+AC}{3} [/latex]Вектор AQ = [latex] frac{2*AN}{3} = frac{2}{3} * frac{AC+AD}{2} = frac{AB+BC+BC}{3} = frac{AB+2BC}{3} [/latex](воспользовались тем, что вектор AD = вектору BC)теперь вычислим вектора BP, PQ, QD увидим что одинаковыBP = AP-AB = [latex] frac{2AB+BC}{3} - AB = frac{BC-AB}{3} [/latex]PQ = AQ-AP =[latex] frac{AB+2BC}{3} - frac{2AB+BC}{3} = frac{BC-AB}{3} [/latex]QD = AD-AQ = BC-AQ = [latex]BC - frac{(AB+2BC)}{3} = frac{BC-AB}{3} [/latex]